Question

16．已知z是復(fù)數(shù)，z+2i，$\frac{z}{2-i}$均為實(shí)數(shù)（i為虛數(shù)單位），且復(fù)數(shù)（z-ai）²在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)復(fù)數(shù)z=m+ni（m，n∈R），利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件、幾何意義即可得出．

解答 解：設(shè)復(fù)數(shù)z=m+ni（m，n∈R），
由題意得z+2i=m+ni+2i=m+（n+2）i∈R，
∴n+2=0，即n=-2．
又∵$\frac{z}{2-i}$=$\frac{（m+ni）（2+i）}{（2-i）（2+i）}$=$\frac{2m-n}{5}+\frac{2n+m}{5}$i∈R，
∴2n+m=0，即m=-2n=4．∴z=4-2i．
∵（z-ai）²=（4-2i-ai）²=[4-（a+2）i]²=16-（a+2）²-8（a+2）i
對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第一象限，橫標(biāo)和縱標(biāo)都大于0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16-（a+2）^{2}＞0}\\{-8（a+2）＞0}\end{array}\right.$，
解得a的取值范圍為-6＜a＜-2．

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．