Question

已知f（x）=（1+x）^m，g（x）=（1+2x）ⁿ（m，n∈N^*）．
（1）若m=3，n=4，求f（x）g（x）的展開式含x²的項．
（2）令h（x）=f（x）+g（x），h（x）的展開式中含x的項的系數(shù)為12，那么當(dāng)m，n為何值時，含x²的項的系數(shù)取得最小值？

Answer 1

考點：二項式定理的應(yīng)用

專題：二項式定理

分析：（1）利用二項式定理，分別找出得到x²的所有可能情況然后相加；
（2）由h（x）的展開式中含x的項的系數(shù)為12，得到m，n的關(guān)系式，然后將x²的系數(shù)用m，n表示，化簡為關(guān)于一個變量的解析式，根據(jù)自變量范圍求最小值．

解答： 解：（1）m=3，n=4，f（x）=（1+x）³，g（x）=（1+2x）⁴，
∴f（x）g（x）=（1+x）³（1+2x）⁴，∴展開式含x²的項有1×

C

2 4

(2x)2+x

C

1 4

2x+x²=33x²；
（2）h（x）=f（x）+g（x）=）=（1+x）^m+（1+2x）ⁿ，
∵h（x）的展開式中含x的項的系數(shù)為12，
∴

C

1 m

x+

C

1 n

2x=12x，即m+2n=12，
此時x²的系數(shù)為

C

2 m

+

4C

2 n

=

m(m-1)

2

+2n(n-1)=4n²-25n+66=4（n-

25

8

）²-

625

16

+66，n∈N^*，
∴n=3時，x²的項的系數(shù)取得最小值．

點評：本題考查了二項式定理的運用；明確項的系數(shù)的組成形式是解答的關(guān)鍵．