(2013•湖北)如圖,已知橢圓C1與C2的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,長(zhǎng)軸均為MN且在x軸上,短軸長(zhǎng)分別為2m,2n(m>n),過(guò)原點(diǎn)且不與x軸重合的直線l與C1,C2的四個(gè)交點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A,B,C,D,記λ=
mn
,△BDM和△ABN的面積分別為S1和S2
(Ⅰ)當(dāng)直線l與y軸重合時(shí),若S1=λS2,求λ的值;
(Ⅱ)當(dāng)λ變化時(shí),是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得S1=λS2?并說(shuō)明理由.
分析:(Ⅰ)設(shè)出兩個(gè)橢圓的方程,當(dāng)直線l與y軸重合時(shí),求出△BDM和△ABN的面積S1和S2,直接由面積比=λ列式求λ的值;
(Ⅱ)假設(shè)存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得S1=λS2,設(shè)出直線方程,由點(diǎn)到直線的距離公式求出M和N到直線l的距離,利用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想把兩個(gè)三角形的面積比轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)度比,由弦長(zhǎng)公式得到線段長(zhǎng)度比的另一表達(dá)式,兩式相等得到
a2k2+n2
a2k2+m2
=
λ+1
λ(λ-1)
,換元后利用非零的k值存在討論λ的取值范圍.
解答:解:以題意可設(shè)橢圓C1和C2的方程分別為
C1
x2
a2
+
y2
m2
=1
,C2
x2
a2
+
y2
n2
=1
.其中a>m>n>0,
λ=
m
n

(Ⅰ)如圖1,若直線l與y軸重合,即直線l的方程為x=0,則
S1=
1
2
|BD|•|OM|=
1
2
a|BD|
,
S2=
1
2
|AB|•|ON|=
1
2
a|AB|
,
所以
S1
S2
=
|BD|
|AB|

在C1和C2的方程中分別令x=0,可得yA=m,yB=n,yD=-m,
于是
|BD|
|AB|
=
|yB-yD|
|yA-yB|
=
m+n
m-n
=
λ+1
λ-1

S1
S2
,則
λ+1
λ-1
,化簡(jiǎn)得λ2-2λ-1=0,由λ>1,解得λ=
2
+1

故當(dāng)直線l與y軸重合時(shí),若S1=λS2,則λ=
2
+1

(Ⅱ)如圖2,若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得S1=λS2,根據(jù)對(duì)稱性,
不妨設(shè)直線l:y=kx(k>0),
點(diǎn)M(-a,0),N(a,0)到直線l的距離分別為d1,d2,則
d1=
|-ak-0|
1+k2
=
ak
1+k2
,d2=
|ak-0|
1+k2
=
ak
1+k2
,所以d1=d2
S1=
1
2
|BD|d1S2=
1
2
|AB|d2
,所以
S1
S2
=
|BD|
|AB|
,即|BD|=λ|AB|.
由對(duì)稱性可知|AB|=|CD|,所以|BC|=|BD|-|AB|=(λ-1)|AB|,
|AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|,于是
|AD|
|BC|
=
λ+1
λ-1

將l的方程分別與C1和C2的方程聯(lián)立,可求得
xA=
am
a2k2+m2
xB=
an
a2k2+n2

根據(jù)對(duì)稱性可知xC=-xB,xD=-xA,于是
|AD|
|BC|
=
1+k2
|xA-xD|
1+k2
|xB-xC|
=
m
n
a2k2+n2
a2k2+m2

從而由①和②可得
a2k2+n2
a2k2+m2
=
λ+1
λ(λ-1)

t=
λ+1
λ(λ-1)
,則由m>n,可得t≠1,于是由③可得k2=
n2(λ2t2-1)
a2(1-t2)

因?yàn)閗≠0,所以k2>0.于是③關(guān)于k有解,當(dāng)且僅當(dāng)
n2(λ2t2-1)
a2(1-t2)
>0
,
等價(jià)于(t2-1)(t2-
1
λ2
)<0
,由λ>1,解得
1
λ
<t<1
,
1
λ
λ+1
λ(λ-1)
<1
,由λ>1,解得λ>1+
2
,所以
當(dāng)1<λ≤1+
2
時(shí),不存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得S1=λS2;
當(dāng)λ>1+
2
時(shí),存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l,使得S1=λS2
點(diǎn)評(píng):本題考查了三角形的面積公式,考查了點(diǎn)到直線的距離公式,考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系,該題重點(diǎn)考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法,(Ⅱ)中判斷λ的存在性是該題的難題,考查了靈活運(yùn)用函數(shù)和不等式的思想方法.
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(Ⅰ)記平面BEF與平面ABC的交線為l,試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系,并加以證明;
(Ⅱ)設(shè)(Ⅰ)中的直線l與圓O的另一個(gè)交點(diǎn)為D,且點(diǎn)Q滿足
DQ
=
1
2
CP
.記直線PQ與平面ABC所成的角為θ,異面直線PQ與EF所成的角為α,二面角E-l-C的大小為β.求證:sinθ=sinαsinβ.

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n(n+1)
2
=
1
2
n2+
1
2
n
.記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式:
三角形數(shù)N(n,3)=
1
2
n2+
1
2
n
,
正方形數(shù)N(n,4)=n2,
五邊形數(shù)N(n,5)=
3
2
n2-
1
2
n
,
六邊形數(shù)N(n,6)=2n2-n,

可以推測(cè)N(n,k)的表達(dá)式,由此計(jì)算N(10,24)=
1000
1000

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13
(d1+d2+d3)S,試判斷V與V的大小關(guān)系,并加以證明.

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