Question

定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數(shù)，下面是關(guān)于f（x）的判斷：
①f（x）是周期函數(shù)；
②f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱； 
③f（x）在[0，1]上是增函數(shù)；④f（2）=f（0）．
其中正確的判斷是

 

（把你認(rèn)為正確的判斷都填上）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：由題意求出函數(shù)的周期，判斷①，推導(dǎo)④，利用周期對(duì)稱性，判斷②，判斷③，即可確定正確結(jié)果．

解答： 解：f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f（x）關(guān)于y軸對(duì)稱，
則f（-x）=f（x），
又f（x+1）=-f（x）
f（x+2）=f（x+1+1）=-f（x+1）=f（x），
∴2為f（x）的一個(gè)周期，命題①正確；
f（x+2）=f（x）=f（-x），
∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，命題②正確；
∵f（x）在區(qū)間[-1，0]上為增函數(shù)，f（x）關(guān)于y軸對(duì)稱，所以f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，命題③錯(cuò)誤；
∵2為f（x）的一個(gè)周期，∴f（2）=f（0），命題④正確．
故答案為：①②④

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的周期性，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的值，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是中檔題．