Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，其中a和b是實(shí)數(shù)，曲線y=f（x）恒與x軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求常數(shù)b的值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）當(dāng)0≤x≤1時(shí)關(guān)于x的不等式f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：對(duì)f（x）求導(dǎo)得：

f'（x）=﹣aln（x+1）+

根據(jù)條件知f'（0）=0，所以1﹣b=0，

故b=1

（2）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=（1﹣x）ln（x+1）﹣x，f（x）的定義域?yàn)椋ī?，+∞）

f'（x）=﹣ln（x+1）+ ﹣1=﹣ln（x+1）+ ﹣2

令f'（x）=0，則導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)x+1=1，故x=0；

當(dāng)x∈（﹣1，0），f'（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈（0，+∞）上，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減

（3）解：由（1）知，f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣x，0≤x≤1

f'（x）=﹣aln（x+1）+ ﹣1

f'（x）=﹣

①當(dāng)a 時(shí)，因?yàn)?≤x≤1，有f'（x）≥0，于是f'（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，從而f'（x）≥f'（0）=0，

因此f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，即f（x）≥f（0）而且僅有f（0）=0；

②當(dāng)a≥0時(shí)，因?yàn)?≤x≤1，有f'（x）＜0，于是f'（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，從而f'（x）≤f'（0）=0，

因此f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，即f（x）≤f（0）=0而且僅有f（0）=0；

③當(dāng)﹣ ＜a＜0時(shí)，令m=min{1，﹣ }，當(dāng)0≤x≤m時(shí)，f'（x）＜0，于是f'（x）在[0，m]上單調(diào)遞減，從而f'（x）≤f'（0）=0

因此f（x）在[0，m]上單調(diào)遞減，即f（x）≤f（0）而且僅有f（0）=0；

綜上：所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣ ]

【解析】（1）對(duì)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)條件知f'（0）=0，所以1﹣b=0；（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=（1﹣x）ln（x+1）﹣x，f（x）的定義域?yàn)椋ī?，+∞）；令f'（x）=0，則導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)x+1=1，故x=0；
當(dāng)x∈（﹣1，0），f'（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（0，+∞）上，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；（3）因?yàn)閒（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣x，0≤x≤1，對(duì)a進(jìn)行分類討論根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得參數(shù)a使得不等式f（x）≥0；
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．