Question

已知橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，連接橢圓的四個頂點(diǎn)的菱形面積為4，斜率為k₁的直線l₁與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（-a，0）．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）若線段AB的垂直平分線與y軸交于點(diǎn)M，當(dāng)k₁=0時(shí)，求

MA

•

MB

的最大值；
（3）設(shè)P為橢圓Γ上任意一點(diǎn)，又設(shè)過點(diǎn)C（a，0），且斜率為k₂的直線l₂與直線l₁相交于點(diǎn)N，若

1

k1

-

5

k2

=4，求線段PN的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由橢圓的離心率結(jié)合菱形面積求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)l₁：y=k₁（x+2），代入

x2

4

+y2=1，利用根與系數(shù)關(guān)系得到AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，求出AB的垂直平分線方程，得到M的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積公式得到數(shù)量積關(guān)于k₁的關(guān)系，換元后利用基本不等式求得

MA

•

MB

的最大值；
（3）設(shè)l₂：y=k₂（x-2），聯(lián)立y=k₁（x+2），得N的坐標(biāo)，由

1

k1

-

5

k2

=4，得4k₁k₂=k₂-5k₁，進(jìn)一步得到
∴xN+yN=

2(k1+k2)

k2-k1

+

4k1k2

k2-k1

=3．說明點(diǎn)N在直線x+y=3上運(yùn)動，求出和x+y=3平行且與

x2

4

+y2=1相切的直線方程，由兩點(diǎn)間的距離公式得答案．

解答： 解：（1）由e=

c

a

=

3

2

，得3a²=4c²，
再由c²=a²-b²，解得a=2b．
由題意可知

1

2

×2a×2b=4，即ab=2．
解方程組

a=2b ab=2

，得a=2，b=1．
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）設(shè)l₁：y=k₁（x+2），代入

x2

4

+y2=1得，
(1+4k12)x2+16k12x+16k12-4=0．
解得：x=-2或x=

2-8k12

1+4k12

，則B（

2-8k12

1+4k12

，

4k1

1+4k12

），
∴AB的中點(diǎn)為（

-8k12

1+4k12

，

2k1

1+4k12

），
∵k₁≠0，則AB的垂直平分線方程為y-

2k1

1+4k12

=-

1

k1

(x+

8k12

1+4k12

)．
設(shè)M（0，y₀），令x=0，得y0=-

6k1

1+4k12

．
則

MA

•

MB

=（-2，-y₀）•（x_B，y_B-y₀）
=-

2(2-8k12)

1+4k12

+

6k1

1+4k12

(

4k1

1+4k12

+

6k1

1+4k12

)
=4[1+

7k12-2

(1+4k12)2

]．
令7k12-2=t＞0，
則

7k12-2

(1+4k12)

=

t

(1+4• t+2 7 )2

=

49

16t+ 225 t +120

≤

49

2 16t• 225 t +120

=

49

240

．
故當(dāng)t=

15

4

，即k1=±

161

14

時(shí)，

MA

•

MB

取最大值4(1+

49

240

)=

289

60

；
（3）設(shè)l₂：y=k₂（x-2），聯(lián)立y=k₁（x+2），得
N（

2(k1+k2)

k2-k1

，

4k1k2

k2-k1

），
由

1

k1

-

5

k2

=4，得4k₁k₂=k₂-5k₁，
∴xN+yN=

2(k1+k2)

k2-k1

+

4k1k2

k2-k1

=3．
故點(diǎn)N在直線x+y=3上運(yùn)動，
設(shè)與x+y=3平行的直線為y=-x+b，
代入

x2

4

+y2=1，得5x²-8bx+4b²-4=0，
由△=0，得b=±

5

．
則PN的最小值為y=-x+

5

與x+y=3的距離，等于

| 5 -3|

2

=

3 2 - 10

2

．

點(diǎn)評：本題是直線與圓錐曲線的綜合題，涉及直線與圓錐曲線關(guān)系問題，常用直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解，但圓錐曲線的特點(diǎn)是計(jì)算量比較大，要求考生具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，是壓軸題．