Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)是二項(xiàng)式(

x

-

2

x

)5展開式的常數(shù)項(xiàng)，公差為二項(xiàng)式展開式的各項(xiàng)系數(shù)和，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：在二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于零，求得r的值，可得常數(shù)項(xiàng)，即等差數(shù)列的首項(xiàng)．又二項(xiàng)式展開式的各項(xiàng)系數(shù)和即為x=1時(shí)二項(xiàng)式的值，
由此求得公差的值，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：由于二項(xiàng)式(

x

-

2

x

)5展開式的通項(xiàng)為：Tr+1=

C

r 5

(

x

)5-r•(-

2

x

)r=(-2)r

C

r 5

x3-r．
令3-r=0得r=3，∴常數(shù)項(xiàng)為T4=(-2)3

C

3 5

=-160，即等差數(shù)列的首項(xiàng)為a₁=-160．…5′
又二項(xiàng)式展開式的各項(xiàng)系數(shù)和即為x=1時(shí)二項(xiàng)式的值，∴d=-1．…8′
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=-160+（n-1）×（-1）=-n-159．…12′．

點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)和的求法，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．