Question

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，記以A為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為；以C為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，則的最小值是　 　．

Answer 1

﹣5

試題分析：不妨記以A為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為，，，以C為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為，，．如圖建立坐標(biāo)系．
（1）當(dāng)i=1，j=2，k=1，l=2時(shí)，則=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣5；
（2）當(dāng)i=1，j=2，k=1，l=3時(shí)，則=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，0）+（0，﹣1）]=﹣3；
（3）當(dāng)i=1，j=2，k=2，l=3時(shí)，則=[（1，0）+（1，1）]•[（（﹣1，﹣1）+（0，﹣1）]=﹣4；
（4）當(dāng)i=1，j=3，k=1，l=2時(shí)，則=[（1，0）+（0，1）]•[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）]=﹣3；
同樣地，當(dāng)i，j，k，l取其它值時(shí)，=﹣5，﹣4，或﹣3．
則的最小值是﹣5．
故答案為：﹣5．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查平面向量坐標(biāo)表示、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算等基本知識(shí)，考查考查分類討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題、解決問題的能力