已知拋物線.
(1)若圓心在拋物線上的動圓,大小隨位置而變化,但總是與直線相切,求所有的圓都經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo);
(2)拋物線的焦點(diǎn)為,若過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn),若,求直線的斜率;
(3)若過正半軸上點(diǎn)的直線與該拋物線交于兩點(diǎn),為拋物線上異于的任意一點(diǎn),記連線的斜率為試求滿足成等差數(shù)列的充要條件.
(1);(2);(3)直線與軸相垂直
解析試題分析:(1)本題考查拋物線的定義,由于直線是已知拋物線的的準(zhǔn)線,而圓心在拋物線上的圓既然與準(zhǔn)線相切,則它必定過拋物線的焦點(diǎn),所以所有的圓必過拋物線的焦點(diǎn),即定點(diǎn);(2)這是直線與拋物線相交問題,設(shè)如設(shè),,則,兩式相減有,則,下面就是要求或,為此,我們設(shè)直線方程為,把它與拋物線方程聯(lián)立方程組,消去,就可得到關(guān)于的方程,可得,,只是里面含有,這里解題的關(guān)鍵就是已知條件怎樣用?實(shí)際上有這個條件可得,這樣與剛才的,合起來就能求出;(3)設(shè),成等差數(shù)列即,仿照(2)此式為①,由于直線可能與軸垂直,但不會與軸垂直,設(shè)直線的方程為,代入拋物線方程消去得關(guān)于的二次方程,可得,這樣①式可化為,從而得到,即直線的方程為,與軸垂直.
試題解析:(1) 由定義可得定點(diǎn)(1,0);(4分)
(2)設(shè),由,得(5分)
由方程組,得
得(7分)聯(lián)立上述方程求得:.(9分)
(3)(理)設(shè)直線的方程為,代入,得:,設(shè),則(11分)
若
,即
有,即:
由此得:,,(15分)
所以當(dāng)直線的方程為時,也就是成立的充要條件是直線與軸相垂直。(16分)
考點(diǎn):(1)拋物線的定義;(2)直線和與拋物線相交與向量的應(yīng)用;(3)圓錐曲線綜
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
巳知橢圓的離心率是.
⑴若點(diǎn)P(2,1)在橢圓上,求橢圓的方程;
⑵若存在過點(diǎn)A(1,0)的直線,使點(diǎn)C(2,0)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在橢圓上,求橢圓的焦距的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓:的離心率為,右焦點(diǎn)為(,0).
(1)求橢圓的方程;
(2)若過原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線,與橢圓交于,兩點(diǎn),求證:點(diǎn)到直線的距離為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:()的短軸長為2,離心率為
(1)求橢圓C的方程
(2)若過點(diǎn)M(2,0)的引斜率為的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)G、H,設(shè)P為橢圓C上一點(diǎn),且滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)時,求實(shí)數(shù)的取值范圍?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
橢圓以雙曲線的實(shí)軸為短軸、虛軸為長軸,且與拋物線交于兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程及線段的長;
(2)在與圖像的公共區(qū)域內(nèi),是否存在一點(diǎn),使得的弦與的弦相互垂直平分于點(diǎn)?若存在,求點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,M、N分別是橢圓=1的頂點(diǎn),過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn),其中P在第一象限,過P作x軸的垂線,垂足為C,連結(jié)AC,并延長交橢圓于點(diǎn)B,設(shè)直線PA的斜率為k.
(1)若直線PA平分線段MN,求k的值;
(2)當(dāng)k=2時,求點(diǎn)P到直線AB的距離d;
(3)對任意k>0,求證:PA⊥PB..
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓=1(a>b>0)的離心率為,短軸的一個端點(diǎn)為M(0,1),直線l:y=kx-與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B.
(1)若AB=,求k的值;
(2)求證:不論k取何值,以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)M.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓=1(a>b>0),點(diǎn)P在橢圓上.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)A為橢圓的左頂點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若點(diǎn)Q在橢圓上且滿足AQ=AO,求直線OQ的斜率的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓+y2=1的左頂點(diǎn)為A,過A作兩條互相垂直的弦AM、AN交橢圓于M、N兩點(diǎn).
(1)當(dāng)直線AM的斜率為1時,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)當(dāng)直線AM的斜率變化時,直線MN是否過x軸上的一定點(diǎn)?若過定點(diǎn),請給出證明,并求出該定點(diǎn);若不過定點(diǎn),請說明理由.
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