Question

13．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的離心率為2，直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)M在第一象限，并且在拋物線y²=2px（p＞0）上，若點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離為p，則直線l的斜率為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出M的坐標(biāo)，設(shè)直線l的斜率為k，得出l的點(diǎn)斜式方程，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求出雙曲線方程，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程消元，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式列出方程解出k．

解答 解：設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，則e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}=2$，
∴b²=3a²．即雙曲線方程為3x²-y²=3a²．
拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
∵點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離為p，∴M（$\frac{p}{2}$，p）．
設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y-p=k（x-$\frac{p}{2}$），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}-{y}^{2}=3{a}^{2}}\\{y-p=k（x-\frac{p}{2}）}\end{array}\right.$，消元得：（3-k²）x²-（2kp-k²p）x-$\frac{{k}^{2}p}{4}$-p²+kp²-3a²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{2kp-{k}^{2}p}{3-{k}^{2}}$，
∵AB的中點(diǎn)為M（$\frac{p}{2}$，p）．
∴$\frac{2kp-{k}^{2}p}{3-{k}^{2}}$=p，解得k=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線，雙曲線的性質(zhì)，直線與圓錐曲線的關(guān)系，屬于中檔題．