Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=3，．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)一切n∈N^*，都有成立，求S_n．

Answer 1

（I）證明：由a_n+1=4a_n-3a_n-1可得a_n+1-a_n=3（a_n-a_n-1）
所以數(shù)列{a_n+1-a_n}是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列 …（3分）
故有a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=…（6分）
（II）解：由 可知
當(dāng)n=1時(shí)，，b₁=3，S₁=3
當(dāng)n≥2時(shí)，，…（8分）
=2（1×3⁰+2×3¹+3×3²+…n×3^n-1）+1
設(shè)x=1×3⁰+2×3¹+3×3²+…+n×3^n-1
3x=1×3¹+2×3²+…+（n-1）×3^n-1+n×3ⁿ
∴2x=n×3ⁿ-（3^n-1+3^n-2+…3⁰）=…（11分）
綜上…（12分）
分析：（I ）由a_n+1=4a_n-3a_n-1可得a_n+1-a_n=3（a_n-a_n-1），故而=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可求a_n
（II）由 可求，利用錯(cuò)位相減可求和s_n
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求解通項(xiàng)公式，而數(shù)列求和的錯(cuò)位相減是數(shù)列求和的重點(diǎn)與難點(diǎn)，要注意掌握