Question

【題目】定義在R上的奇函數f（x），當x∈（﹣∞，0）時，f（x）=﹣x2+mx﹣1．
（1）當x∈（0，+∞）時，求f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=0有五個不相等的實數解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設x＞0，則﹣x＜0，∴f（﹣x）=﹣x2﹣mx﹣1

又f（x）為奇函數，即f（﹣x）=﹣f（x），

所以，f（x）=x2+mx+1（x＞0），

又f（0）=0，

所以

（2）解：因為f（x）為奇函數，所以函數y=f（x）的圖象關于原點對稱，

由方程f（x）=0有五個不相等的實數解，得y=f（x）的圖象與x軸有五個不同的交點，

又f（0）=0，所以f（x）=x2+mx+1（x＞0）的圖象與x軸正半軸有兩個不同的交點，

即，方程x2+mx+1=0有兩個不等正根，記兩根分別為x1，x2

，

所以，所求實數m的取值范圍是m＜﹣2

【解析】（1）先根據f（x）是定義在R上的奇函數，判斷f（0）=0，再根據當x＜0時，f（x）=﹣f（﹣x）根據x，0時，f（x）=﹣x2+mx﹣1得到x＞0時函數的解析式，最后綜合即可得到答案．（2）由方程f（x）=0有五個不相等的實數解，得y=f（x）的圖象與x軸有五個不同的交點，又f（0）=0，所以f（x）=x2+mx+1（x＞0）的圖象與x軸正半軸有兩個不同的交點即，方程x2+mx+1=0有兩個不等正根，記兩根分別為x1 ， x2得出關于m的不等關系，從而求得實數m的取值范圍．