Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x （e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）不等式f（x）＞ax的解集為P，若M={x|

1

2

≤x≤2}且M∩P≠∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）已知n∈N﹡，且S_n=∫_tⁿ[f（x）+x]dx（t為常數(shù)，t≥0），是否存在等比數(shù)列{b_n}，使得b₁+b₂+…b_n=S_n；若存在，請求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0求出根，判斷根左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)的符號，進(jìn)一步判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值．
（2）要使不等式有解，分離出參數(shù)a，構(gòu)造新函數(shù)g（x），求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，判斷出g（x）的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，令a小于最大值即可．
（3）通過微積分基本定理求出S_n，仿寫等式求出數(shù)列的通項(xiàng)，利用等比數(shù)列的定義說明存在這樣的等比數(shù)列．

解答：解：（1）f′（x）=e^x-1                              　　　　　　　　　　　　　　  
由f′（x）=0得x=0
當(dāng)x＞0時f′（x）＞0．當(dāng)x＜0時，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，+∞）上增，在（-∞，0）上減
∴f（x）_min=f（0）=1                 
（2）∵M(jìn)∩P≠∅，∴f(x)＞ax在區(qū)間[

1

2

，2]有解
由f（x）＞ax得e^x-x＞ax
即a＜

ex

x

-1在[

1

2

，2]上有解           　　　　　　　
令  g(x)=

ex

x

-1，  x∈[

1

2

，2]
∴g′(x)=

(x-1)ex

x2

∴g(x)在[

1

2

，1]上減，在[1，2]上增
又g(

1

2

)=2

e

-1，g(2)=

e2

2

-1，且g(2)＞g(

1

2

)
∴g(x)max=g(2)=

e2

2

-1
∴a＜

e2

2

-1                                               　　　　　　　　　　　　　
（3）設(shè)存在等比數(shù)列{b_n}，b₁+b₂+…+b_n=S_n
∵S_n=∫_tⁿ[f（x）+x]dx=eⁿ-e^t
∴b₁=e-e^t         　　　　　　　　　　　 
n≥2時b_n=S_n-S_n-1=（e-1）e^n-1
當(dāng)t=0時b_n=（e-1）e^n-1，數(shù){b_n}為等比數(shù)列
t≠0時

b2

b1

≠

b3

b2

，則數(shù){b_n}不是等比數(shù)列
∴當(dāng)t=0時，存在滿足條件的數(shù)b_n=（e-1）e^n-1滿足題意

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，判斷出函數(shù)的最值，本題第二小題不等式有解問題，有解的問題一般轉(zhuǎn)化最值問題來求解，本題即轉(zhuǎn)化為用單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的問題，求出最值再判斷出參數(shù)的取值．本題運(yùn)算量過大，解題時要認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)，避免變形運(yùn)算失誤，導(dǎo)致解題失敗．