Question

如圖1，在平面內，ABCD邊長為2的正方形，ADD″A₁和CDD″C₁都是正方形．將兩個正方形分別沿AD，CD折起，使D″與D′重合于點D₁．設直線l過點B且垂直于正方形ABCD所在的平面，點E是直線l上的一個動點，且與點D₁位于平面ABCD同側，設BE=t（t＞0）（圖2）．
（1）設二面角E-AC-D₁的大小為θ，當t=2時，求θ的余弦值；
（2）當t＞2時在線段D₁E上是否存在點P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，若存在，求出P分

D1E

所成的比λ；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先找到二面角E-AC-D₁的平面角，由余弦定理，求出平面角的余弦值，即可．
（2）先假設存在點P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，建立空間直角坐標系，找到平面ACE的法向量，根據P分

D1E

所成的比為λ，得

D1P

=λ

PE

，計算出λ的值，若能算出，則存在，若計算不出，則不存在．

解答：解：（1）連接DB交AC于點O，連接DO，EO，在△ADC中，DO⊥AC，
同理可證，EO⊥AC
∴∠D₁OE為所求二面角的平面角θ
在△ADC中，∵AD₁=CD₁=AC=2

2

，∴OD₁=

6

同理可得，OE=

6

，又∵D₁E=2

2

∴在△D₁OE中，由余弦定理得，cosθ=

1

3

（2）設以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．BE=t
則，D（0，0，0），A（2，0，0），C（2，2，0），A1（2，0，2），D1（0，0，2），C1（0，2，2），E（2，2，t0
假設粗在滿足題意的點P（x，y，z）
∵P分

D1E

所成的比為λ，∴

D1P

=λ

PE

?（x，y，z）=λ（2-x，2-y，t-z）
解得，x=

2λ

1+λ

，y=

2λ

1+λ

，z=

λt+2

1+λ

P（

2λ

1+λ

，

2λ

1+λ

，

λt+2

1+λ

）
∴

PA1

=（

2λ

1+λ

，

-2λ

1+λ

，

(2-t)λ

1+λ

）
設平面ACE的法向量

n

=（x₀，y₀，z₀）

AC

=（-2，2，0），

EA

=（0，-2，-t）

n

⊥

AC

?-2x₀+2y₀=0，

n

⊥

EA

?-2y₀-ty₀=0

-2x0+2y0=0 -2y0--tz0=0

⇒

x0=y0 z0=- 2 t y0

令x0=y0=t，則，z0=-2，∴

n

=（t，t，-2）
平面PA₁C₁∥平面EAC，得PA₁∥平面EAC
∴

n

⊥

PA1

?

2t

1+λ

-

2λt

1+λ

-

2(2-t)λ

1+λ

=0⇒λ=

t

2

∴在線段D₁E上是存在點P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，P分

D1E

所成的比λ=

t

2

（t＞2）

點評：本題考查了二面角的平面角的求法，以及用空間向量判斷立體幾何位置關系．