Question

2．已知函數f（x）=$\frac{{2{e^x}}}{x}$．
（1）若曲線y=f（x）在點（x₀，f（x₀））處的切線方程為ax-y=0，求x₀的值；
（2）當x＞0時，求證：f（x）＞2x．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，結合切線方程求出x₀的值即可；（2）構造函數g（x），根據函數的單調性求出g（x）的最小值，從而證出結論．

解答 解：（1）${f^，}（x）=2×\frac{{{e^x}x-{e^x}}}{x^2}$，因為切線ax-y=0過原點，
所以$\frac{{{e^{x_0}}{x_0}-{e^{x_0}}}}{{{x_0}^2}}=\frac{{\frac{{{e^{x_0}}}}{x_0}}}{x_0}$，解得：x₀=2；
證明：（2）$設g（x）=\frac{f（x）}{2x}=\frac{e^x}{x^2}（x＞0），則{g^，}（x）=\frac{{{e^x}（{{x^2}-2x}）}}{x^4}$，$令{g^，}（x）=\frac{{{e^x}（{{x^2}-2x}）}}{x^4}=0$，解得x=2．
x在（0，+∞）上變化時，g，（x），g（x）的變化情況如下表：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
g，（x）	-	0	+
g（x）	遞減	$\frac{e^2}{4}$	遞增

所以，當x=2時，g（x）取得最小值$\frac{e^2}{4}$，
所以，當x＞0時，$g（x）≥\frac{e^2}{4}＞1，即f（x）＞2x$．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及不等式的證明，是一道中檔題．