Question

2．直線l：y=kx+1與雙曲線C：x²-y²=1僅有一個公共點，則k=±1，±$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為（1-k²）x²-2kx-2=0．分類討論：當1-k²=0時，可得k=±1，此時直線l與等軸雙曲線的漸近線，滿足題意；當1-k²≠0時，由直線與雙曲線有且只有一個公共點，可得△=0，解出即可．

解答 解：聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為（1-k²）x²-2kx-2=0．
①當1-k²=0時，可得k=±1，此時直線l的方程為y=±x+1，
分別與等軸雙曲線的漸近線y=±x平行，
此時直線l與雙曲線有且只有一個交點，滿足題意；
②當1-k²≠0時，由直線與雙曲線有且只有一個公共點，
可得△=4k²+8（1-k²）=0，
解得k=±$\sqrt{2}$．此時滿足條件．
綜上可得：k=±1，±$\sqrt{2}$．
故答案為：±1，±$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了直線與雙曲線的位置關系及其性質(zhì)、一元二次方程與△的關系、分類討論等基礎知識與基本方法，屬于中檔題和易錯題．