Question

8．如圖所示，棱長為a的正方體，N是棱A₁D₁的中點；
（I）求直線AN與平面BB₁D₁D所成角的大��；
（Ⅱ）求B₁到平面ANC的距離．

Answer 1

分析 （1）以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，求出平面BB₁D₁D的一個法量，利用和此法向量夾角求解．向量知識求解．
（Ⅱ）求出平面ANC的一個方法向量，B₁到平面ANC的距離等于$\overrightarrow{{B}_{1}C}$在此法向量方向上投影的絕對值．利用向量知識求解．

解答 解：（I）以D為坐標原點，建立如圖所示的坐標系，
則A（a，0，0），N（$\frac{a}{2}$，0，a），C（0，a，0），B₁ （a，a，a）
易知平面BB₁D₁D的一個法量$\overrightarrow{AC}$=（-a，a，0）
  $\overrightarrow{AN}$=（-$\frac{a}{2}$，0，a），
設直線AN與平面BB₁D₁D所成角為θ，
則sinθ=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AN}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AN}|}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$
∴直線AN與平面BB₁D₁D所成角為arcsin$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（Ⅱ）設平面ANC的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{-ax+ay=0}\\{-\frac{ax}{2}+az=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（2，2，1），
∵$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-a，0，-a），
∴B₁到平面ANC的距離d=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}C}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=a．

點評 本題考查空間直線和平面所成角的計算，點面距離求解，考查空間想象能力、計算能力，正確運用空間向量是關鍵．