Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{2x}-1}{x}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若任意x∈（0，1），f（x）∈（a，b）恒成立，求b-a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出f（x）的范圍，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為e^2x-ax-1＞0在x∈（0，1）恒成立，令h（x）=e^2x-ax-1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出其范圍即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{（2x-1{）e}^{2x}+1}{{x}^{2}}$，（x≠0），
令g（x）=（2x-1）e^2x+1，（x≠0），則g′（x）=4xe^2x，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）遞增，
∴g（x）＞g（0）=0，
∴f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（-∞，0）遞減，
∴g（x）＞g（0）=0，
∴f′（x）＞0，f（x）在（-∞，0）遞增，
綜上，函數(shù)f（x）在（-∞，0），（0，+∞）遞增；
（2）由（1）得；f（x）在（0，1）遞增，
∴f（x）＜f（1）=e²-1，
∴任意x∈（0，1），f（x）＜b恒成立，則b≥e²-1，
要使任意x∈（0，1），f（x）＞a恒成立，只需e^2x-ax-1＞0在x∈（0，1）恒成立，
令h（x）=e^2x-ax-1，則h′（x）=2e^2x-a，x∈（0，1），
①a≤2時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）遞增，
∴h（x）＞h（0）=0，符合題意，
②a≥2e²時(shí)，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）遞減，
∴h（x）＜h（0）=0，不符合題意，
③2＜a＜2e²時(shí)，h′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$ln$\frac{a}{2}$，h′（x）＞0，解得：$\frac{1}{2}$ln$\frac{a}{2}$＜x＜1，
∴h（x）在（0，$\frac{1}{2}$ln$\frac{a}{2}$）遞減，故任意x∈（0，$\frac{1}{2}$ln$\frac{a}{2}$），
∴h（x）＜h（0）=0，不符合題意，
綜上，a≤2，
∴b-a≥e²-3，
故b-a的最小值是e²-3．

點(diǎn)評(píng) 不同考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題．