Question

已知數列的各項均為正數，其前項和為，且.
⑴求證：數列是等差數列；
⑵設，求證：；
⑶設，，求.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

試題分析：（1）一般數列問題中出現數列前的和與其項時，則可利用關系找出數列的遞推關系，本題可從此入手，證明數列為等差數列；(2)由(1)可求出，根據此式的結構特征，可得，利用裂項相消法求其前的和后再予以判斷；(3)根據數列的結構特點(等差乘等比型)可用錯位相減法求和.證明數列為等差數列或等比數列，應緊扣定義，通過對所給條件變形，得到遞推關系，而等差乘等比型數列的求和最常用的就是錯位相減法，使用這個方法在計算上要有耐心和細心，注意各項的符號，防止出錯.
試題解析：⑴證明：，當時，或，又.            1分
由，得，

數列是以1為首項，1為公差的等差數列；            4分
⑵證明：由⑴知，，

.            8分
⑶，，      ①
         ②
由①－②得，
.            12分