Question

數(shù)列

1

1×3

，

1

2×4

，

1

3×5

，…，

1

n(n+2)

，…的前n項(xiàng)和S_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：把數(shù)列的遞推式列項(xiàng)，然后直接利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和．

解答： 解：∵

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

n(3n+5)

4(n+1)(n+2)

．
故答案為：

n(3n+5)

4(n+1)(n+2)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，關(guān)鍵是注意裂項(xiàng)后剩余的項(xiàng)，是中檔題．