Question

已知{a_n}是等比數(shù)列，a₁=3，a₄=24，數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足：b₁=0，b_n+b_n+1=a_n，
（1）求證a_n=3×2^n-1；
（2）求證：b_n=2^n-1+（-1）ⁿ．

Answer 1

證明：（1）∵{a_n}是等比數(shù)列，a₁=3，a₄=24，
設(shè)公比為q，則3q³=24，∴q=2． （2分）
∴a_n=3×2^n-1． （2分）
（2）（數(shù)學(xué)歸納法） （2分）
①當(dāng)n=1時(shí)，b₁=0=2^1-1+（-1）¹，結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立即b_k=2^k-1+（-1）^k，則
∵b_n+b_n+1=a_n=3×2^n-1，∴2^k-1+（-1）^k+b_k+1=3×2^k-1，
∴b_k+1=2^k+（-1）^k+1，即當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
綜合①②可知，b_n=2^n-1+（-1）ⁿ． （2分）
分析：（1）先判斷n=1時(shí)成立，然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，只要能證明出當(dāng)n=k+1時(shí)，立即可得到所有的正整數(shù)n，a_n=3×2^n-1都成立；
（2）類(lèi)似（1）的證明：先判斷n=1時(shí)成立，然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，只要能證明出當(dāng)n=k+1時(shí)，立即可得到所有的正整數(shù)n，b_n=2^n-1+（-1）ⁿ都成立
點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的步驟是：第一步，驗(yàn)證當(dāng)n=n₀時(shí)命題成立，第二步假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，那么再證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．關(guān)鍵是第二步中要充分用上歸納假設(shè)的結(jié)論，否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤．