已知四棱錐P-ABCD,PB^AD,側(cè)面PAD為邊長(zhǎng)等于2的正三角形,底面ABCD為菱形,側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°.
(1)求點(diǎn)P到平面ABCD的距離;
(2)求面APB與面CPB所成二面角的大小.
(1)作PO^平面ABCD,垂足為點(diǎn)O,連結(jié)OB、OA、OD,OB與AD交于點(diǎn)E,連PE.∵ AD^PB,∴ AD^OB,∵ PA=PD,∴ OA=OD.于是OB平分AD,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),∴ PE^AD. 由此可知ÐPEB為面PAD與面ABCD所成二面角的平面角.∴ ÐPEB=120° ÐPEO=60°,由已知可求得PE=. ∴ .即點(diǎn)P到平面ABCD的距離為. (2)取PB中點(diǎn)G,PC的中點(diǎn)F,連結(jié)EG、AG、GF, 則AG^PB,FG∥BC,FG=BC ∵ AD^PB,∴ BC^PB,FG^PB ∴ ÐAGF是所求二面角的平面角. ∵ AD^面POB,∴ AD^EG. 又∴ PE=BE,∴ EG^PB,且ÐPEG=60°. 在RtDPEG中,EGPE×cos60°=. 在RtDGAE中,AE=AD=1,于是tanÐGAE= 又ÐAGF=p-ÐGAE ∴ 所求二面角大小為p-arctan. |
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