如圖，F(xiàn)1是雙曲線數(shù)學(xué)公式的左焦點(diǎn)，A是左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，若在右準(zhǔn)線上存在一點(diǎn)P，使線段PF1的中垂線過點(diǎn)A，則雙曲線的離心率的取值范圍是________．


分析：設(shè)B是右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，先將幾何條件“線段PF1的中垂線過點(diǎn)A”，轉(zhuǎn)化為幾何條件“|AF1|=|AP|”，再利用幾何條件“|AP|≥|AB|”的不等關(guān)系|AF1|≥|AB|，最后將不等關(guān)系翻譯為離心率不等式即可解得離心率的取值范圍
解答：設(shè)B是右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)
∵線段PF1的中垂線過點(diǎn)A，∴|AF1|=|AP|≥|AB|
∵|AF1|=c-，|AB|=
∴c-≥，即 c2≥3a2，e2≥3，e≥
∴雙曲線的離心率的取值范圍是[，+∞）
故答案為
點(diǎn)評(píng)：本題考察了雙曲線的定義和幾何性質(zhì)，雙曲線準(zhǔn)線的意義和離心率的范圍的求法，找到恰當(dāng)?shù)牟坏汝P(guān)系是解決本題的關(guān)鍵
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)我們定義雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的漸近線與直線y=±b的交點(diǎn)為“虛近點(diǎn)”，如圖點(diǎn)P是雙曲線C在第一象限的漸近點(diǎn)，直線y=b與雙曲線C的左、右分支分別交于點(diǎn)A、B，F(xiàn)1、F2分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求證：PF1⊥PF2；
（2）求證：PF1平分∠APO；
（3）你能否在未證明（1）下，直接證明（2）？請(qǐng)寫下你的理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，P是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，xy≠0)上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是雙曲線的左右焦點(diǎn)，M是∠F1PF2的平分線上一點(diǎn)，且F2M⊥MP．某同學(xué)用以下方法研究|OM|：延長(zhǎng)F2M交PF1于點(diǎn)N，可知△PNF2為等腰三角形，且M為F2N的中點(diǎn)，得|OM|=
1
2
|NF1|，…，|OM|=a．類似地：P是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0，b2+c2=a2，xy≠0)上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是橢圓的左右焦點(diǎn)，M是∠F1PF2的平分線上一點(diǎn)，且F2M⊥MP，則|OM|的取值范圍是
（0，c）
（0，c）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•九江二模）如圖，F(xiàn)1是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)，A是左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，若在右準(zhǔn)線上存在一點(diǎn)P，使線段PF1的中垂線過點(diǎn)A，則雙曲線的離心率的取值范圍是
[
3
，+∞)
[
3
，+∞)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年江西省九江市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，F(xiàn)1是雙曲線的左焦點(diǎn)，A是左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，若在右準(zhǔn)線上存在一點(diǎn)P，使線段PF1的中垂線過點(diǎn)A，則雙曲線的離心率的取值范圍是    ．

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