Question

如圖，已知圓柱形桶的底面半徑為6cm，高為2πcm，有一只螞蟻從桶外A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)桶的表面通過(guò)上口爬行到桶內(nèi)側(cè)CC₁的中點(diǎn)G吃糖，聰明的螞蟻爬行的最短距離是

3

5

π

cm．

Answer 1

分析：將圓柱的半個(gè)側(cè)面展開(kāi)成平面圖，得到如圖的矩形ACC₁A₁，則螞蟻所走的路程為如圖的折線(xiàn)A-E-G，即AE+EG．作出G點(diǎn)關(guān)于A₁C₁的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，并連接AD，由平面幾何知識(shí)知：當(dāng)E點(diǎn)與AD、A₁C₁的交點(diǎn)E₀重合時(shí)，AE+EG最�。�由此結(jié)合題中數(shù)據(jù)即可得到聰明的螞蟻爬行的最短距離．

解答：解：將圓柱的半個(gè)側(cè)面展開(kāi)成平面圖，得到如圖的矩形ACC₁A₁，
設(shè)螞蟻從A出發(fā)，爬到上底面圓上的E點(diǎn)，再爬到點(diǎn)G處吃到糖
它所走的路程為折線(xiàn)A-E-G，即線(xiàn)段AE與EG之和
為了求AE+EG的最小值，作出G點(diǎn)關(guān)于A₁C₁的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，
連接AD，設(shè)AD∩A₁C₁=E₀，則當(dāng)E點(diǎn)與E₀重合時(shí)，AE+EG最�。�
∵AC長(zhǎng)等于圓柱底面圓周長(zhǎng)的一半，
∴AC=

1

2

×（2π×6）=6π
而CD=

3

2

CC₁=3π，根據(jù)勾股定理，得
AD=

AC2+CD2

=

(6π)2+(3π)2

=3

5

π
即螞蟻爬行的最短距離是3

5

π
故答案為：3

5

π

點(diǎn)評(píng)：本題給出圓柱體，求螞蟻沿著側(cè)面爬行的最短距離，著重考查了利用平面展開(kāi)的方法求旋轉(zhuǎn)體表面距離最小值的知識(shí)，屬于中檔題．