Question

已知與拋物線x²=4y有相同的焦點的橢圓E：

y 2

a 2

+

x 2

b 2

=1（a＞b＞0）的上、下頂點分別為A（0，2）、B（0，-2），過（0，1）的直線與橢圓E交于M、N兩點，與拋物線交于C、D兩點，過C、D分別作拋物線的兩切線l₁、l₂．
（1）求橢圓E的方程并證明l₁⊥l₂；
（2）求△AMN面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,圓錐曲線的綜合

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出a=2，c=1，由此能求橢圓的標準方程，設直線l：y=kx+1，聯(lián)立方程組得x²-4kx-4=0，由此能求出橢圓E的方程并證明l₁⊥l₂．
（2）設直線l：y=kx+1，與

x2

3

+

y2

4

=1聯(lián)立，得（3k²+4）x²+6kx-9=0，利用韋達定理和導數(shù)特物定性質(zhì)，由此能求出△AMN面積的最大值．

解答： 解：（1）∵與拋物線x²=4y有相同的焦點的橢圓
E：

y 2

a 2

+

x 2

b 2

=1(a＞b＞0)的上、下頂點分別為A（0，2）、B（0，-2），
∴a=2，c=1，∴b=

22-12

=

3

，
∴橢圓的標準方程為

x2

3

+

y2

4

=1，
由題意知直線的斜率存在，設直線l：y=kx+1，
聯(lián)立方程組

x2=4y y=kx+1

，得x²-4kx-4=0，
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則kl1=

1

2

x1，kl2=

1

2

x2，
∴kl1•kl2=

1

4

x1x2=

1

4

×(-4)=-1，
∴l(xiāng)₁⊥l₂．
（2）設直線l：y=kx+1，與

x2

3

+

y2

4

=1聯(lián)立并消去y，得：
（3k²+4）x²+6kx-9=0，
設M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），則
x3+x4=-

6k

3k2+4

，x₃x₄=

-9

3k2+4

，
∴|x₃-x₄|=

12 k2+1

3k2+4

，
△AMN的面積為

1

2

|x₃-x₄|=

6 k2+1

3k2+4

，
令

k2+1

=t，t≥1，
則S（t）=

6t

3t2+1

=

6

3t+ 1 t

，t≥1，
記f（t）=3t+

1

t

，則f′(t)=

3t2-1

t2

，
當t≥1時，f′（t）＞0，f（t）單調(diào)遞增，
∴t=1時，f（t）取最小值，S（t）取最大值，
此時k=0，即MN與x軸平行，△AMN面積的最大值為

3

2

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要注意掌握直線與圓錐曲線的位置關系的應用，