Question

（1）某學(xué)生在體育訓(xùn)練時(shí)受了傷，醫(yī)生給他開(kāi)了一些消炎藥，并規(guī)定每天早上八時(shí)服一片，現(xiàn)知該藥片每片含藥量為200毫克，他的腎臟每天可從體內(nèi)濾出這種藥的60%，問(wèn)：經(jīng)過(guò)多少天，該同學(xué)所服的第一片藥在他體內(nèi)殘留不超過(guò)10毫克？（lg2=0.3010）
（2）設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R，求函數(shù)的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)該藥片每片含藥量為200毫克，他的腎臟每天可從體內(nèi)濾出這種藥的60%，利用所服的第一片藥在他體內(nèi)殘留不超過(guò)10毫克，建立方程，即可求得結(jié)論；
（2）利用絕對(duì)值的幾何意義，化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用配方法，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x天該同學(xué)所服的第一片藥在他體內(nèi)殘留不超過(guò)10毫克，
依題意得：200（1-60%）^x=10，即0.4x=

1

20

兩邊取常用對(duì)數(shù)，得xlg0.4=lg

1

20

，
即xlg

4

10

=lg

1

20

，∴x（2lg2-lg10）=-lg20，∴x（2lg2-1）=-（lg2+1）
∴x=3.3
∴4天后該同學(xué)體內(nèi)藥殘留不超過(guò)10毫克．
（2）當(dāng)x≥a時(shí)，f(x)=x2+x-a+1=(x+

1

2

)2-a+

3

4

，
當(dāng)a＞-

1

2

時(shí)，f(x)min=f(a)=a2+1，
當(dāng)a≤-

1

2

時(shí)，f(x)min=f(-

1

2

)=-a+

3

4

．
當(dāng)x＜a時(shí)，f(x)=x2-x+a+1=(x-

1

2

)2+a+

3

4

，
當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，f(x)min=f(

1

2

)=a+

3

4

當(dāng)a≤

1

2

時(shí)，f(x)min=f(a)=a2+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查二次函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．