Question

已知函數(shù)f(x)=log

1

2

2x-1

2x+1

（x∈（-∞，-

1

2

)∪(

1

2

，（

1

2

，+∞））．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（2）指出函數(shù)f（x）在區(qū)間(

1

2

，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)奇偶性的定義，判斷f（-x）與f（x）之間的關(guān)系，即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）利用原始的定義進(jìn)行證明，在區(qū)間(

1

2

，+∞）上任取x₁，x₂且x₁＜x₂，只要證f（x₂）＞f（x₁）就可以可，把x₁和x₂分別代入函數(shù)f （x）進(jìn)行證明．

解答：解：（1）∵函數(shù)的定義域（-∞，-

1

2

)∪(

1

2

∪（

1

2

，+∞）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
且f(-x)=log

1

2

-2x-1

-2x+1

=log

1

2

2x+1

2x-1

=log

1

2

(

2x-1

2x+1

)-1=-f（x），
所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）設(shè)g(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

．設(shè)-m＜x₁＜x₂，則g（x₁）-g（x₂）=-4•

x2-x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
因?yàn)閙＜0，

1

2

＜x1＜x2，所以x₂-x₁＞0，2x₁+1＞0，2x₂+1＞0，
所以-4•

x2-x1

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，即g（x₁）＜g（x₂），
因?yàn)?span id="yzs83x9" class="MathJye">y=log

1

2

x是減函數(shù)，所以log

1

2

g(x1)＞log

1

2

g(x2)，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在(

1

2

，+∞）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查多項(xiàng)式函數(shù)的定義域、奇偶性和單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是利用定義進(jìn)行證明，是一道基礎(chǔ)題．