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7.函數(shù)f(x)=2(a+sin2x)cosbx-sincx,x∈[0,π]
(1)若a=c=0,b=2求滿足f(x)=32所有x值的集合;
(2)若a=32,b=1,c=3,求f(x)最大值和最小值;
(3)在(2)的條件下,分別將函數(shù)y=f(x)的圖象上所有點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)縮短到原來的一半,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求不等式g(x)<12的解集.

分析 (1)化簡(jiǎn)得出f(x)=sin4x,利用特殊三角函數(shù)值,終邊相同的角求解.
(2)利用兩角和差公式得出f(x)=sinx+3,根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求解.
(3)利用函數(shù)圖象變換得出函數(shù)g(x)=12sin2x+3,解不等式即可.

解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)=2(a+sin2x)cosbx-sincx,x∈[0,π].
∴a=c=0,b=2,
∴f(x)=sin4x,
∵f(x)=32,
∴sin4x=32,
4x=2kπ+\frac{π}{3},或4x=2kπ+\frac{2π}{3},∈Z
即x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12},或x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6},k∈Z
所有x值的集合:{x|x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12},或x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6},k∈Z}
(2)∵a=\frac{\sqrt{3}}{2},b=1,c=3,
∴f(x)=sinx+\sqrt{3}
∵-1≤sinx≤1,
\sqrt{3}-1≤f(x)≤\sqrt{3}+1
∴f(x)最大值為\sqrt{3}+1,最小值為:\sqrt{3}-1,
(3)f(x)=sinx+\sqrt{3},的圖象上所有點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)縮短到原來的一半,
得到函數(shù)g(x)=\frac{1}{2}sin2x+\sqrt{3},
等式g(x)<\frac{1}{2}
sin2x<1-2\sqrt{3},無解,
∴解集為∅

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),兩角和差的公式,考查了學(xué)生的運(yùn)算能力.

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