Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）它的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁（-5

3

，0），F(xiàn)₂（5

3

，0），P為橢圓E上一點(diǎn)（點(diǎn)P在第三象限），且△F₁ F₂的周長(zhǎng)等于20+10

3

．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過(guò)橢圓E的左頂點(diǎn)M與點(diǎn)C（-2，0），直線(xiàn)MP交圓P于另一點(diǎn)N，試在橢圓E上找一點(diǎn)A，使得

AM

•

AN

取得最小值，并求出最小值．

Answer 1

分析：（I）由題意可得，|F₁F₂|=10

3

=2c，又|PF₁|+|PF₂|=2a，結(jié)合2a+2c=20+10

3

可求a，c，然后由b²=a²-c²可求b，進(jìn)而可求橢圓方程
（II）法一：由（I）可得M（-10，0），C（-2，0），設(shè)P（m，n），則由圓的性質(zhì)可得m=

-10-2

2

=-6，結(jié)合P在橢圓上可求m，n，即可得P，由題意P為MN的中點(diǎn)，可得N設(shè)A（x，y），然后代入

AM

•

AN

=(-10-x)(-2-x)+(-y)(-8-y)=（x+6）²+（y+4）²-32，可求
（II）解法二：同（I）可求P（-6，-4），設(shè)A（x，y），

PM

=-

PN

，代入

AM

•

AN

=(

AP

+

PM

)•(

AP

+

PN

)=|

AP

|2-32，可求最小值

解答：解：（I）由題意可得，|F₁F₂|=10

3

=2c，又|PF₁|+|PF₂|=2a
則有2a+2c=20+10

3

∴a=10
由b²=a²-c²=25
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

100

+

y2

25

=1
（II）由（I）可得M（-10，0），C（-2，0），設(shè)P（m，n），則有m=

-10-2

2

=-6
又

m2

100

+

n2

25

=1
∴n=-4即P（-6，-4）
∵P為MN的中點(diǎn)，可得N（-2，-8），設(shè)A（x，y）
∴

AM

=(-10-x，-y)，

AN

=(-2-x，-8-y)
∴

AM

•

AN

=(-10-x)(-2-x)+(-y)(-8-y)
=x²+12x+20+y²+8y
=（x+6）²+（y+4）²-32
當(dāng)且僅當(dāng)x=-6，y=-4時(shí)，即當(dāng)A，P重合時(shí)，

AM

•

AN

=-32最小
（II）解法二：同（I）可求P（-6，-4），設(shè)A（x，y），

PM

=-

PN

∵

AM

•

AN

=(

AP

+

PM

)•(

AP

+

PN

)
=|

AP

|2-|

PM

|2=|

AP

|2-32
∴當(dāng)A，P重合時(shí)，

AM

•

AN

=-32最小

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，用待定系數(shù)法求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示是解題的關(guān)鍵．