已知雙曲線C的中心是原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F，一條漸近線m:,設(shè)過點(diǎn)A的直線l的方向向量。

（1）　　　 求雙曲線C的方程；　

（2）　　　 若過原點(diǎn)的直線，且a與l的距離為，求K的值；

（3）　　　 證明：當(dāng)時，在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線l的距離為.

【解】（1）設(shè)雙曲線的方程為

   ，解額雙曲線的方程為

（2）直線，直線

由題意，得，解得

（3）【證法一】設(shè)過原點(diǎn)且平行于的直線

則直線與的距離當(dāng)時，

又雙曲線的漸近線為

  雙曲線的右支在直線的右下方，

  雙曲線右支上的任意點(diǎn)到直線的距離大于。

故在雙曲線的右支上不存在點(diǎn)，使之到直線的距離為

【證法二】假設(shè)雙曲線右支上存在點(diǎn)到直線的距離為，

則

由（1）得

設(shè)，

當(dāng)時，；

將代入（2）得

，

  方程不存在正根，即假設(shè)不成立，

故在雙曲線的右支上不存在點(diǎn)，使之到直線的距離為

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C的中心是原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F(
3
，0)，一條漸近線m：x+
2
y=0，設(shè)過點(diǎn)A（-3
2
，0）的直線l的方向向量e=（1，k），
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過原點(diǎn)的直線a∥l，且a與l的距離為
6
，求k的值；
（3）證明：當(dāng)k＞
2
2
時，在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線l的距離為
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C的中心是原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F(
3
，0)，焦點(diǎn)到一條漸近線距離為
2
，則雙曲線C的漸近線方程為（　�。�
A、y=±
3
x
B、y=±x
C、x=±
2
2
y
D、x=±
2
y

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分8分。

已知雙曲線C的中心是原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F，一條漸近線m:，設(shè)過點(diǎn)A的直線l的方向向量。

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若過原點(diǎn)的直線，且a與l的距離為，求K的值；

（3）證明：當(dāng)時，在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線l的距離為。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年河南省高二上學(xué)期12月份考試數(shù)學(xué)卷（文理） 題型：解答題

（12分）已知雙曲線C的中心是原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F(,0)，一條漸近線m:x+y=0，設(shè)過點(diǎn)A(－3,0)的直線l

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若過原點(diǎn)的直線a∥l，且a與l的距離為，求k的值；

（3）證明：當(dāng)k＞時，在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線l的距離為.

 

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