Question

7．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足2acosB=2c-b．
（1）求角A；
（2）若a是b，c的等比中項(xiàng)，判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知等式及正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦函數(shù)公式化簡可得2cosAsinB=sinB，又sinB≠0，可得cosA=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍0＜A＜π，即可求得A的值．
（2）由（1）知$A=\frac{π}{3}$，由余弦定理，得a²=b²+c²-bc．又a是b，c的等比中項(xiàng)，可得bc=b²+c²-bc即解得b=c，從而得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵2acosB=2c-b，由正弦定理，得2sinAcosB=2sinC-sinB…（2分）
而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB…（3分）
∴2cosAsinB=sinB，在△ABC，sinB≠0，故cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{3}$…（6分）
（2）△ABC是等邊三角形，…（7分）
理由如下：由（1）可知$A=\frac{π}{3}$，在△ABC中，由余弦定理，得a²=b²+c²-bc．  …（9分）
由a是b，c的等比中項(xiàng)，得a²=bc，所以bc=b²+c²-bc即（b-c）²=0，從而b=c…（11分）
故△ABC是等邊三角形．  …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，余弦定理，等比數(shù)列的性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．