Question

13．已知函數f（x）=x²-$\frac{a}{x}$（a∈R），則下列結論正確的是（　�。�

• A． ?a∈R，f（x）是偶函數
• B． ?a∈R，f（x）是奇函數
• C． ?a∈（0，+∞），f（x）在（-∞，0）上是增函數
• D． ?a∈（0，+∞），f（x）在（0，+∞）上是減函數

Answer 1

分析 A．根據函數偶函數的定義進行判斷．
B．根據函數奇函數的定義進行判斷．
C．求函數的導數，結合函數單調性和導數的關系進行判斷．
D．求函數的導數，利用函數單調性和導數的關系進行判斷．

解答 解：A．當a=0時，f（x）=x²，則f（-x）=f（x），此時函數f（x）是偶函數，故A正確，
B．若f（x）=x²-$\frac{a}{x}$是奇函數，
則f（-x）=-f（x），即x²+$\frac{a}{x}$=-x²+$\frac{a}{x}$，
即x²=-x²，恒成立，則x=0，此時函數f（x）無意義，故?a∈R，f（x）是奇函數錯誤，故B錯誤，
C．函數的導數f′（x）=2x+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{2{x}^{3}+a}{{x}^{2}}$，當x＜0且a＞0時，f′（x）＜不恒成立，即此時函數f（x）在（-∞，0）上不是增函數，故C錯誤，
D..函數的導數f′（x）=2x+$\frac{a}{{x}^{2}}$，當x＞0且a＞0時，f′（x）＞0，即此時函數f（x）為增函數，故D錯誤，
故選：A．

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數奇偶性，以及單調性的判斷，利用定義法和導數法是解決本題的關鍵．