Question

在平面直角坐標系xoy中，橢圓E：（a＞0，b＞0）經(jīng)過點A（，），且點F（0，-1）為其一個焦點．   
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設橢圓E與y軸的兩個交點為A₁，A₂，不在y軸上的動點P在直線y=b²上運動，直線PA₁，PA₂分別與橢圓E交于點M，N，證明：直線MN通過一個定點，且△FMN的周長為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可得解出即可；
（Ⅱ）不妨設A₁（0，2），A₂（0，-2）
P（x，4）為直線y=4上一點（x≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
直線PA₁方程為，直線PA₂方程為，分別與橢圓聯(lián)立即可得到點M，N的坐標．
由于橢圓關于y軸對稱，當動點P在直線y=4上運動時，直線MN通過的定點必在y軸上，
當x=1時，直線MN的方程為，令x=0，得y=1可猜測定點的坐標為（0，1），并記這個定點為B
再證明k_BM=k_BN，即M，B，N三點共線即可．
又F（0，-1），B（0，1）是橢圓E的焦點，利用橢圓的定義即可得出△FMN的周長．
解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題意可得
可解得
∴橢圓E的方程為…（4分）
（Ⅱ）不妨設A₁（0，2），A₂（0，-2）
P（x，4）為直線y=4上一點（x≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
直線PA₁方程為，直線PA₂方程為
點M（x₁，y₁），A₁（0，2）的坐標滿足方程組可得
點N（x₂，y₂），A₂（0，-2）的坐標滿足方程組    可得
由于橢圓關于y軸對稱，當動點P在直線y=4上運動時，直線MN通過的定點必在y軸上，
當x=1時，直線MN的方程為，令x=0，得y=1可猜測定點的坐標為（0，1），并記這個定點為B
則直線BM的斜率k_BM===
直線BN的斜率k_BN===
∴k_BM=k_BN，即M，B，N三點共線，故直線MN通過一個定點B（0，1），
又∵F（0，-1），B（0，1）是橢圓E的焦點，
∴△FMN周長=|FM|+|MB|+|BN|+|NF|=4b=8．
點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到方程組、三點共線與斜率的關系等是解題的關鍵．