Question

【題目】如圖，四棱錐 的底面 為正方形， ⊥底面 ， 分別是 的中點(diǎn)， .

（Ⅰ）求證 ∥平面 ；
（Ⅱ）求直線 與平面 所成的角；
（Ⅲ）求四棱錐 的外接球的體積.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）如圖，連結(jié) ，則 是 的中點(diǎn)，又 是 的中點(diǎn)，

∴ .又∵ 平面 ， 面

∴ 平面 .

（Ⅱ）取 的中點(diǎn) ，連接 .

在正方形 中， 是 的中點(diǎn)，有 .

∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，

∵ ，∴ 平面 ，

∴ 是直線 在平面 的射影，∴ 是直線 與平面 所成的角，

在直角三角形 中， ，所以 .

∴直線 與平面 所成的角為45°.

（Ⅲ）設(shè)四棱錐 的外接球半徑為 ， ，則

，即 .

所以外接球的體積為 ..

【解析】(1)根據(jù)題意作出輔助線，利用線面平行的判定定理即可得證。(2)由題意結(jié)合線面垂直的判斷定理可得證H E ⊥ 平面 P A B，進(jìn)而找出二面角的平面角結(jié)合題中已知在直角三角形中求出線面角即可。(3)根據(jù)題意把四棱錐補(bǔ)成為一個球內(nèi)接長方體，球的直徑為長方體的體對角線進(jìn)而求出半徑再結(jié)合球的體積公式代入數(shù)值求出即可。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面平行的性質(zhì)和直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡記為：線面平行則線線平行；一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能正確解答此題．