Question

命題“p：?x∈（1，

5

2

），使不等式tx²+2x-3＞0有解為真命題，則實數t的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,特稱命題

專題：分類討論,簡易邏輯

分析：方法一、運用分類討論法，對t討論，分t=0，t＞0，t＜0三種，討論原不等式在（1，

5

2

）內有解的情況，注意構造函數，運用函數的單調性求解；
方法二、分離參數法，根據條件將t分離，得t＞

3-2x

x2

在區(qū)間（1，

5

2

）內有解，構造g（x）=

3-2x

x2

，求出g（x）在（1，

5

2

）內的值域，從而確定t的范圍．

解答： 解法一、（分類討論法）
當t=0時，原不等式即為2x-3＞0，解得x＞

3

2

，顯然在（1，

5

2

）內有解，成立；
當t＞0時，不等式tx²+2x-3＞0在（1，

5

2

）內有解，令f（x）=tx²+2x-3，
則由于△=4+12t＞0，故方程f（x）=0有兩個不等的實根x₁，x₂，
x₁=

-2- 4+12t

2t

＜0，x₂=

-2+ 4+12t

2t

＞0，
∴f（x）＞0的解集為（-∞，x₁）∪（x₂，+∞），
∵f（x）＞0在（1，

5

2

）內有解，
∴

-2+ 4+12t

2t

＜

5

2

，即1+3t＜（1+

5

2

t）²，
∴t＞0成立；
當t＜0時，不等式tx²+2x-3＞0在（1，

5

2

）內有解，
則令△=4+12t＞0，解得t＞-

1

3

，
∴-

1

t

＞3＞

5

2

，即區(qū)間（1，

5

2

）在拋物線對稱軸的左邊，為增區(qū)間，
∴只要f（

5

2

）＞0，即

25

4

t+2＞0，解得-

8

25

＜t＜0；
綜上可得，實數t的取值范圍是[0，+∞）∪（-

8

25

，0），即（-

8

25

，+∞）．
解法二、（分離參數法）
∵?x∈（1，

5

2

），使不等式tx²+2x-3＞0有解為真命題，
∴tx²+2x-3＞0在區(qū)間（1，

5

2

）內有解，
即t＞

3-2x

x2

在區(qū)間（1，

5

2

）內有解，
令g（x）=

3-2x

x2

，將g（x）配方得，g（x）=3（

1

x

-

1

3

）²-

1

3

，
∵1＜x＜

5

2

，

2

5

＜

1

x

＜1，
∴g（x）∈(-

8

25

，1)，
∴t＞-

8

25

．
即實數t的取值范圍是：（-

8

25

，+∞）．

點評：本題主要以命題的真假判斷為載體，考查不等式有解問題，通常有兩種方法：參數分離法和分類討論法，應注意轉化為求函數的值域問題，并注意端點的取舍，可通過檢驗．