Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD=CD=

1

2

AB，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD．
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）若M為線段PA的中點，且過C，D，M三點的平面與PB交于點N，求PN：PB的值．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,余弦定理

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)AC，證明BC⊥AC，BC⊥PC，利用線面垂直的判定定理，可得BC⊥平面PAC；
（2）證明AB∥MN，利用M為線段PA的中點，可得N為線段PB的中點，即可得出結(jié)論．

解答： （1）證明：連結(jié)AC．不妨設AD=1．
因為AD=CD=

1

2

AB，所以CD=1，AB=2．
因為∠ADC=90°，所以AC=

2

，∠CAB=45°．
在△ABC中，由余弦定理得BC=

2

，所以AC²+BC²=AB²．
所以BC⊥AC．                  …（3分）
因為PC⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以BC⊥PC．  …（5分）
因為PC?平面PAC，AC?平面PAC，PC∩AC=C，
所以BC⊥平面PAC．                                …（7分）
（2）解：如圖，因為AB∥DC，CD?平面CDMN，AB?平面CDMN，
所以AB∥平面CDMN．    …（9分）
因為AB?平面PAB，
平面PAB∩平面CDMN=MN，
所以AB∥MN．           …（12分）
在△PAB中，因為M為線段PA的中點，
所以N為線段PB的中點，
即PN：PB的值為

1

2

．      …（14分）

點評：本題考查線面平行、垂直的判定，考查學生分析解決問題的能力，正確運用線面平行、垂直的判定定理是關(guān)鍵．