Question

設(shè)點M是橢圓x²+4y²=4上的一動點，點A（t，0）是橢圓長軸上的一點，若|MA|的最小值為d，試求函數(shù)d=f（t）的表達(dá)式．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：設(shè)M（x，y），y=|MA|²=（x-t）²+1-

1

4

x²=

3

4

x2-2tx+t2+1，當(dāng)x=

4

3

t時，y=1-

1

3

t²，由此進行分類討論，能求出f（t）．

解答： 解：設(shè)M（x，y），|MA|²=（x-t）²+1-

1

4

x²=

3

4

x2-2tx+t2+1，t，x∈[-2，2]
設(shè)y=|MA|²=（x-t）²+1-

1

4

x²=

3

4

x2-2tx+t2+1，
對稱軸為x=

4

3

t，
當(dāng)x=

4

3

t時，y=1-

1

3

t²，
當(dāng)t∈[-2，-

3

2

）時，

4

3

t∈[-

8

3

，-2），d=t+2，
當(dāng)t∈[-

3

2

，

3

2

]時，

4

3

t∈[-2，2]，d=

1- 1 3 t2

，
當(dāng)t∈（

3

2

，2]時，

4

3

t∈（2，

8

3

），d=2-t．
綜上f（t）=

2+t，t∈[-2，- 3 2 ) 1- 1 3 t2 ，t∈[- 3 2 ， 3 2 ] 2-t，t∈( 3 2 ，2]

．

點評：本題考查函數(shù)表達(dá)式的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運用．