Question

16．已知函數(shù)f（x）=2sinxcos（x+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{1}{2}$sin2x．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值與最小值及相應的x的集合；
（2）寫出函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和與差的公式、二倍角公式，輔助角公式將函數(shù)進行化簡，結合三角函數(shù)的圖象和性質即可求函數(shù)最大值與最小值及相應的x的集合；
（2）三角函數(shù)的圖象和性質，即可求出函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間．

解答 解：由f（x）=2sinxcos（x+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{1}{2}$sin2x
?f（x）=2sinx•cosxcos$\frac{π}{3}$-2sin²xsin$\frac{π}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x$+$\frac{1}{2}$sin2x
?f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$sin²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x$+$\frac{1}{2}$sin2x
?f（x）=sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x$+$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x$
?f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x
?f（x）=2sin（2x$+\frac{π}{3}$）
（1）正弦函數(shù)的圖象和性質，可得：
當2x$+\frac{π}{3}$=2kπ$+\frac{π}{2}$（k∈Z）時，f（x）取得最大值，即f（x）_max=2．
此時解得x=$kπ+\frac{π}{12}$（k∈Z）．
當2x$+\frac{π}{3}$=2kπ$-\frac{π}{2}$（k∈Z）時，f（x）取得最小值，即f（x）_min=-2．
此時解得x=$kπ-\frac{5π}{12}$（k∈Z）．
（2）sinx正弦函數(shù)的圖象和性質，x∈[$2kπ-\frac{π}{2}$，$2kπ+\frac{π}{2}$]，（k∈Z）是單調增區(qū)間．
∴2x$+\frac{π}{3}$∈[$2kπ-\frac{π}{2}$，$2kπ+\frac{π}{2}$]，（k∈Z）是單調增區(qū)間．即$2kπ-\frac{π}{2}$≤2x$+\frac{π}{3}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$]，（k∈Z）
解得：$kπ-\frac{5π}{12}$≤x≤$kπ+\frac{π}{12}$．（k∈Z）
所以：函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為：[$kπ-\frac{5π}{12}$，$kπ+\frac{π}{12}$]（k∈Z）

點評 本題考查了利用兩角和與差的公式、二倍角公式，輔助角公式將函數(shù)進行化簡的能力和計算能力，以及三角函數(shù)的圖象和性質的運用能力．屬于基礎題．