【題目】四棱錐中, ,且平面, , , 是棱的中點(diǎn).
(1)證明: 平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2) .
【解析】試題分析:(1)取中點(diǎn),連接、,四邊形是平行四邊形,通過證明面ACD,來證明平面。(2)取中點(diǎn),過N點(diǎn)做BE的平行線為y軸,NB,NA分別為x,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,由空間向量求二面角的余弦值。
試題解析:(1)取中點(diǎn),連接、,
∵是中點(diǎn),∴,且.
又因?yàn)?/span>,∴.又∵,∴,∴四邊形是平行四邊形.∴,又,∴是等邊三角形,∴,∵平面, ,∴平面,∴,∴平面,∴平面.
(2)取中點(diǎn),則, 平面,以為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.
各點(diǎn)坐標(biāo)為, , , , , .
可得, , , ;
設(shè)平面的法向量,則得,
取,
設(shè)平面的法向量,則得,
取,
于是 ,
注意到二面角是鈍角,因此,所求二面角的余弦值就是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn),過點(diǎn)作圓的兩條切線,切點(diǎn)為,且.
(1)求拋物線的方程;
(2)若直線是過定點(diǎn)的一條直線,且與拋物線交于兩點(diǎn),過定點(diǎn)作的垂線與拋物線交于兩點(diǎn),求四邊形面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某中學(xué)舉行的物理知識(shí)競(jìng)賽中,將三個(gè)年級(jí)參賽學(xué)生的成績(jī)?cè)谶M(jìn)行整理后分成5組,繪制出如圖所示的須率分布直方圖,圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五小組.已知第三小組的頻數(shù)是15.
(1)求成績(jī)?cè)?/span>50-70分的頻率是多少
(2)求這三個(gè)年級(jí)參賽學(xué)生的總?cè)藬?shù)是多少:
(3)求成績(jī)?cè)?/span>80-100分的學(xué)生人數(shù)是多少
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為曲線的一個(gè)焦點(diǎn), 為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn),過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線的準(zhǔn)線于,直線交拋物線于點(diǎn).
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)若、、三個(gè)點(diǎn)滿足,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)若時(shí),關(guān)于的不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)若數(shù)列滿足, ,記的前項(xiàng)和為,求證: .
【答案】(I);(II);(III)證明見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)求出,在定義域內(nèi),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間, 求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>,所以顯然不成立,先證明因此時(shí), 在上恒成立,再證明當(dāng)時(shí)不滿足題意,從而可得結(jié)果;(III)先求出等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,結(jié)合(II)可得,各式相加即可得結(jié)論.
試題解析:(Ⅰ)由,得.所以
令,解得或(舍去),所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 .
(Ⅱ)由得,
當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>,所以顯然不成立,因此.
令,則,令,得.
當(dāng)時(shí), , ,∴,所以,即有.
因此時(shí), 在上恒成立.
②當(dāng)時(shí), , 在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),
∴,不滿足題意.
綜上,不等式在上恒成立時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍是.
(III)證明:由知數(shù)列是的等差數(shù)列,所以
所以
由(Ⅱ)得, 在上恒成立.
所以. 將以上各式左右兩邊分別相加,得
.因?yàn)?/span>
所以
所以.
【題型】解答題
【/span>結(jié)束】
22
【題目】已知直線, (為參數(shù), 為傾斜角).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的直角坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)將曲線的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,直線與曲線的交點(diǎn)為、,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山,堅(jiān)持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心,已形成了全民自覺參與,造福百姓的良性循環(huán).據(jù)此,某網(wǎng)站退出了關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)進(jìn)展情況的調(diào)查,調(diào)查數(shù)據(jù)表明,環(huán)境治理和保護(hù)問題仍是百姓最為關(guān)心的熱點(diǎn),參與調(diào)查者中關(guān)注此問題的約占.現(xiàn)從參與關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人群中隨機(jī)選出200人,并將這200人按年齡分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求出的值;
(2)求這200人年齡的樣本平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)和中位數(shù)(精確到小數(shù)點(diǎn)后一位);
(3)現(xiàn)在要從年齡較小的第1,2組中用分層抽樣的方法抽取5人,再從這5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查,求這2組恰好抽到2人的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面平面, , , , , .
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)若點(diǎn)在棱上,且平面,求線段的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f '(x)的圖象如圖所示,f(-1)=f(2)=3,令g(x)=(x-1)f(x),則不等式g(x)≥3x-3的解集是( )
A. [-1,1]∪[2,+∞)B. (-∞,-1]∪[1,2]
C. (-∞,-1]∪[2,+∞)D. [-1,2]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年寒假期間新冠肺炎肆虐,全國(guó)人民眾志成城抗疫情.某市要求全體市民在家隔離,同時(shí)決定全市所有學(xué)校推遲開學(xué).某區(qū)教育局為了讓學(xué)生“停課不停學(xué)”,要求學(xué)校各科老師每天在網(wǎng)上授課輔導(dǎo),每天共200分鐘.教育局為了了解高三學(xué)生網(wǎng)上學(xué)習(xí)情況,上課幾天后在全區(qū)高三學(xué)生中采取隨機(jī)抽樣的方法抽取了80名學(xué)生(其中男女生恰好各占一半)進(jìn)行問卷調(diào)查,按男女生分為兩組,再將每組學(xué)生在線學(xué)習(xí)時(shí)間(分鐘)分為5組,,,,得到如圖所示的頻率分布直方圖.全區(qū)高三學(xué)生有3000人(男女生人數(shù)大致相等),以頻率估計(jì)概率回答下列問題:
(1)估計(jì)全區(qū)高三學(xué)生中網(wǎng)上學(xué)習(xí)時(shí)間不超過40分鐘的人數(shù);
(2)在調(diào)查的80名高三學(xué)生且學(xué)習(xí)時(shí)間不超過40分鐘的學(xué)生中,男女生按分層抽樣的方法抽取6人.若從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行電話訪談,求至少抽到1名男生的概率.
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