【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的側(cè)面PAD是正三角形,底面ABCD為菱形,A點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),若BE=PE.
(1)求證:PB⊥BC;
(2)若∠PEB=120°,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
【答案】
(1)證明:由BE=PE,AB=PA,AE=AE,得△AEP≌△AEB,
∴∠EAB=60°,且AD⊥BE,
又∵AD⊥PE,
∴AD⊥平面PBE,
∵PB平面PBE,得AD⊥PB,
又AD∥BC,
∴PB⊥BC.
(2)解:如圖,過P作PO⊥平面ABCD,交BE延長(zhǎng)線于O,
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),過O作DA的平行線為x軸,OB為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
P(0,0, ),B(0, ,0),PB的中占點(diǎn)G(0, , ),連結(jié)AG,
又A(1, ,0),C(﹣2, ,0),由此得到 =(1,﹣ ,﹣ ),
=(0, ), =(﹣2,0,0),
∴ =0, =0,
∴ , ,
∵ 的夾角為θ等于所求二面角二面角A﹣PB﹣C的平面角,
∴cos = =﹣ .
∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值為﹣ .
【解析】(1)推導(dǎo)出∠EAB=60°,且AD⊥BE,AD⊥PE,從而AD⊥平面PBE,進(jìn)而AD⊥PB,由此能證明PB⊥BC.(2)過P作PO⊥平面ABCD,交BE延長(zhǎng)線于O,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),過O作DA的平行線為x軸,OB為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
【考點(diǎn)精析】掌握空間中直線與直線之間的位置關(guān)系是解答本題的根本,需要知道相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);異面直線: 不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作,其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)方式為:弧田面積=(弦×矢+矢2),弧田(如圖)由圓弧和其所對(duì)弦所圍成,公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng),“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差,現(xiàn)有圓心角為,半徑等于米的弧田,按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積約是
A. 平方米 B. 平方米
C. 平方米 D. 平方米
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC和△ACD中,∠ACB=∠ADC=90°,∠BAC=∠CAD,⊙O是以AB為直徑的圓,DC的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.
(Ⅰ)求證:DC是⊙O的切線;
(Ⅱ)若EB=6,EC=6 ,求BC的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),.
Ⅰ.寫出在上的解析式;
Ⅱ.求出在上的最大值;
Ⅲ.若是上的增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0).
(1)若點(diǎn)M(6,9)在圓上,求a的值;
(2)已知點(diǎn)P(3,3)和點(diǎn)Q(5,3),線段PQ(不含端點(diǎn))與圓N有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l:y=﹣x+1與橢圓C: =1(a>b>0))相交于不同的兩點(diǎn)A、B,且線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為( , )
(1)求橢圓C離心率;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),且2|OP|=|AB|,求橢圓C的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)A={x|2x2+ax+2=0},B={x|x2+3x+2a=0},A∩B={2}.
(1)求a的值及集合A、B;
(2)設(shè)集合U=A∪B,求(CuA)∪(CuB)的所有子集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓: ()的離心率為,連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)所形成的四邊形面積為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若橢圓上點(diǎn)到定點(diǎn)()的距離的最小值為1,求的值及點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)如圖,過橢圓的下頂點(diǎn)作兩條互相垂直的直線,分別交橢圓于點(diǎn), ,設(shè)直線的斜率為,直線: 分別與直線, 交于點(diǎn), .記, 的面積分別為, ,是否存在直線,使得?若存在,求出所有直線的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(0,4),對(duì)任意x滿足f(3﹣x)=f(x),且f(1)=2.
(1)若f(x)在(a,2a﹣1)上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(2)設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)﹣(2t﹣3)x,其中t∈R,求h(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值g (t).
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