Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)的值域?yàn)?/span>，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；（2）或

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間以及，時(shí)的范圍，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）先利用有解求出的大致范圍，再證明在該范圍內(nèi)即可。

（1）當(dāng)，，所以，

由于，可得．

當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)；

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是

（2）由題意知必有解，即有解，

所以，即直線與曲線 有交點(diǎn)．

則，令得和；

令得和．

所以和，為增函數(shù)；和，為減函數(shù)．

，當(dāng)時(shí)，恒成立；

所以時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，；

，即時(shí)， ，的圖像如圖所示．

直線與曲線有交點(diǎn)，即或，所以或，

下證，先證，設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以，即；

當(dāng)時(shí)，若，

因?yàn)?/span>在時(shí)的值域是，又因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)，所以：；

當(dāng)時(shí)，若，，

當(dāng)時(shí)，，時(shí)；所以時(shí)，

又因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)，所以，

綜上，或．