Question

若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，過(guò)點(diǎn)（1， ）作圓x²+y²=1的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A、B，直線(xiàn)AB恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓方程是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：設(shè)過(guò)點(diǎn)（1， ）的圓x²+y²=1的切線(xiàn)為l，根據(jù)直線(xiàn)的點(diǎn)斜式，結(jié)合討論可得直線(xiàn)l分別切圓x²+y²=1相切于點(diǎn)A（1，0）和B（0，2）．然后求出直線(xiàn)AB的方程，從而得到直線(xiàn)AB與x軸、y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，得到橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，最后根據(jù)橢圓的基本概念即可求出橢圓的方程．
解答：設(shè)過(guò)點(diǎn)（1， ）的圓x²+y²=1的切線(xiàn)為l：y-=k（x-1），即kx-y-k+=0
①當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，k不存在，直線(xiàn)方程為x=1，恰好與圓x²+y²=1相切于點(diǎn)A（1，0）；
②當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不垂直時(shí)，原點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離為：d==1，解之得k=-，
此時(shí)直線(xiàn)l的方程為y=-x+，l切圓x²+y²=1相切于點(diǎn)B（，）；
因此，直線(xiàn)AB斜率為k₁==-2，直線(xiàn)AB方程為y=-2（x-1）
∴直線(xiàn)AB交x軸交于點(diǎn)A（1，0），交y軸于點(diǎn)C（0，2）．
橢圓的右焦點(diǎn)為（0，1），上頂點(diǎn)為（0，2）
∴c=1，b=2，可得a²=b²+c²=5，橢圓方程為
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題給出過(guò)定點(diǎn)直線(xiàn)與單位圓相切于A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)AB過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，求橢圓的方程，著重考查了直線(xiàn)的基本量與基本形式和橢圓的基本概念等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．