Question

已知三點(diǎn)A（1，3），B（-1，-1），C（2，1），直線l平行于BC，分別交AB、AC于點(diǎn)P、Q，若△APQ的面積是△ABC面積的

1

9

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：先求出直線BC的方程，由三角形面積間的關(guān)系求出直線l與直線BC之間的距離，由直線l平行于BC，設(shè)出
直線l的方程，再利用兩平行線間的距離公式求出待定系數(shù)，從而得到直線l的方程．

解答：解：過A點(diǎn)作BC邊的高AE，交PQ于點(diǎn)F，因?yàn)閘∥BC，所以kl=kBC=

2

3

，
∵

S△APQ

S△ABC

=

1

9

，∴

AF

AE

=

1

3

．
由于直線BC的方程為2x-3y-1=0，所以|AE|=

|2×1-3×3-1|

4+9

=

8 13

13

，所以|AF|=

8 13

39

，
所以|EF|=|AE|-|AF|=

16 13

39

設(shè)直線l的方程為y=

2

3

x+b，即2x-3y+3b=0，
因?yàn)閮蓷l平行線間的距離為

16 13

39

，∴

|3b-(-1)|

4+9

=

16 13

39

，
解得b=

13

9

或b=-

19

9

（舍去），
所以直線l的方程是y=

2

3

x+

13

9

，即6x-9y+13=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的點(diǎn)斜式方程，兩平行線間的距離公式，用到頂系數(shù)法求直線的方程的方法是一種常用的
重要方法，屬于基礎(chǔ)題．