Question

設函數(shù)f（x）的定義域為R，若存在常數(shù)M＞0使|f（x）|≤M|x|對一切實數(shù)x均成立，則稱函數(shù)f（x）為F函數(shù)．現(xiàn)給出下列函數(shù)①f（x）=x²，②f（x）=③f（x）=x（1-2^x），④f（x）是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，且對一切x₁x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．其中是F函數(shù)的序號為

1. A.
   ①②③
2. B.
   ②④
3. C.
   ②③
4. D.
   ③④

Answer 1

B
分析：本題考查閱讀題意的能力，根據(jù)F函數(shù)的定義對各選項進行判定．比較各個選項，發(fā)現(xiàn)只有選項（2）（4），根據(jù)單調(diào)性可求出存在正常數(shù)M滿足條件，而對于其它選項，不等式變形之后，發(fā)現(xiàn)都不存在正常數(shù)M使之滿足條件，由此即可得到正確答案．
解答：f（x）=x²，|f（x）|=|x²|≤M|x|，即|x|≤M，不存在這樣的M對一切實數(shù)x均成立，故①不是F函數(shù)；
當x=0時，M可取任意正數(shù)；當x≠0時，只須M≥||的最大值，即M≥||的最大值，∴M≥1，
因此，當M≥1時，②是F函數(shù)；
當x=0時，M可取任意正數(shù)；當x≠0時，只須M≥|1-2^x|的最大值，∵右邊不存在最大值，故③不是F函數(shù)；
對于④，f（x）是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，故|f（x）|是偶函數(shù)，因而由|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|得到，|f（x）|≤2|x|成立，存在M≥2＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數(shù)x均成立，符合題意．
故選B．
點評：本題重點考查了函數(shù)的最值及其性質(zhì)，對選支逐個加以分析變形，利用函數(shù)、不等式的進行檢驗，方可得出正確結(jié)論．深刻理解題中F函數(shù)的定義，用不等式的性質(zhì)加以處理，找出不等式恒成立的條件再進行判斷，是解決本題的關鍵所在．