四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是一個(gè)平行四邊形，=(2，-1，-4)，=(4，2，0)，=(-1，2，-1).

(1)求證PA⊥底面ABCD；

(2)求四棱錐P—ABCD的體積；

(3)對(duì)于向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3),定義一種運(yùn)算：

(a×b)·c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1.

    試計(jì)算(×)·的絕對(duì)值的值；說(shuō)明其與四棱錐P—ABCD體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運(yùn)算(×)·的絕對(duì)值的幾何意義.

解析：(1)∵·=-2-2+4=0，

∴AP⊥AB.

    又∵·=-4+4+0=0，

∴AP⊥AD，∵AB、AD是底面ABCD上的兩條相交直線，∴AP⊥底面ABCD.

(2)設(shè)與的夾角為θ，則

cosθ=

=.

V=||·||·sinθ·||=··=16.

(3)|(×)·|=|-4-32-4-8|它是四棱錐P—ABCD體積的3倍.

    猜測(cè)：|(×)·|在幾何上可表示以AB、AD、AP為棱的平行六面體的體積(或以AB、AD、AP為棱的直四棱柱的體積).


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分別是PD、PC、BC的中點(diǎn)．
（I）求證：PA∥平面EFG；
（II）求平面EFG⊥平面PAD；
（III）若M是線段CD上一點(diǎn)，求三棱錐M-EFG的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•上海）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，已知AB=2，AD=2
2
，PA=2，求：
（1）三角形PCD的面積；
（2）異面直線BC與AE所成的角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，若PA=AB=BC=
12
，AD=1．
（I）求證：CD⊥平面PAC
（II）求二面角A-PD-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，M為AB的中點(diǎn)．
（1）求證：BC∥平面PMD；
（2）求證：PC⊥BC；
（3）求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，Q為AD的中點(diǎn)．
（1）求證：PA∥平面MDB；
（2）求證：AD⊥平面PQB；
（3）若平面PAD⊥平面ABCD，且M為PC的中點(diǎn)，求四棱錐M-ABCD的體積．

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