Question

甲，乙兩人射擊，每次射擊擊中目標(biāo)的概率分別是

1

3

，

1

4

．現(xiàn)兩人玩射擊游戲，規(guī)則如下：若某人某次射擊擊中目標(biāo)，則由他繼續(xù)射擊，否則由對(duì)方接替射擊．甲、乙兩人共射擊3次，且第一次由甲開(kāi)始射擊．假設(shè)每人每次射擊擊中目標(biāo)與否均互不影響．
（Ⅰ）求3次射擊的人依次是甲、甲、乙的概率；
（Ⅱ）若射擊擊中目標(biāo)一次得1分，否則得0分（含未射擊）．用ξ表示乙的總得分，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）3次射擊的人依次是甲、甲、乙，它所包含的事件是甲第一次擊中，接著射擊第二次，但是第二次沒(méi)有擊中，根據(jù)每人每次射擊擊中目標(biāo)與否均互不影響．得到本題是一個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率．
（Ⅱ）甲、乙兩人共射擊3次，且第一次由甲開(kāi)始射擊，可由題意知ξ的可能取值為0，1，2，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件，寫出三種情況的概率，寫出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）3次射擊的人依次是甲、甲、乙，
它所包含的事件是甲第一次擊中，接著射擊第二次，但是第二次沒(méi)有擊中，
記“3次射擊的人依次是甲、甲、乙”為事件A．
每人每次射擊擊中目標(biāo)與否均互不影響．
由題意得事件A的概率P(A)=

1

3

×

2

3

=

2

9

；

（Ⅱ）由題意，ξ的可能取值為0，1，2，
P(ξ=0)=

1

3

×

1

3

+

1

3

×

2

3

×

3

4

+

2

3

×

3

4

=

7

9

；
P(ξ=1)=

1

3

×

2

3

×

1

4

+

2

3

×

1

4

×

3

4

=

13

72

；
P(ξ=2)=

2

3

×

1

4

×

1

4

=

1

24

．
∴ξ的分布列為：

∴ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

7

9

+1×

13

72

+2×

1

24

=

19

72

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，相互獨(dú)立事件是指，兩事件發(fā)生的概率互不影響，注意應(yīng)用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式．