Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2a{x}^{2}+bx+1}{{e}^{x}}$（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（1）=1，且方程f（x）=1在（0，1）內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a=$\frac{1}{2}$，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)存在零點(diǎn)問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）若a=$\frac{1}{2}$，f（x）=（x²+bx+1）e^-x，
則f′（x）=（2x+b）e^-x-（x²+bx+1）e^-x=-[x²+（b-2）x+1-b]e^-x=-（x-1）[x-（1-b）]e^-x，
由f′（x）=0得-（x-1）[x-（1-b）]=0，即x=1或x=1-b，
①若1-b=1，即b=0時(shí)，f′（x）=-（x-1）²e^-x≤0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，+∞）．
②若1-b＞1，即b＜0時(shí)，由f′（x）=-（x-1）[x-（1-b）]e^-x＞0得（x-1）[x-（1-b）]＜0，即1＜x＜1-b，
此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增區(qū)間為（1，1-b），
由f′（x）=-（x-1）[x-（1-b）]e^-x＜0得（x-1）[x-（1-b）]＞0，即x＜1，或x＞1-b，
此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1），（1-b，+∞），
③若1-b＜1，即b＞0時(shí)，由f′（x）=-（x-1）[x-（1-b）]e^-x＞0得（x-1）[x-（1-b）]＜0，即1-b＜x＜1，
此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增區(qū)間為（1-b，1），
由f′（x）=-（x-1）[x-（1-b）]e^-x＜0得（x-1）[x-（1-b）]＞0，即x＜1-b，或x＞1，
此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1-b），（1，+∞）．
（2）若f（1）=1，則f（1）=（2a+b+1）e^-1=1，
即2a+b+1=e，則b=e-1-2a，
若方程f（x）=1在（0，1）內(nèi)有解，
即方程f（x）=（2ax²+bx+1）e^-x=1在（0，1）內(nèi)有解，
即2ax²+bx+1=e^x在（0，1）內(nèi)有解，
即e^x-2ax²-bx-1=0，
設(shè)g（x）=e^x-2ax²-bx-1，
則g（x）在（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，
設(shè)x₀是g（x）在（0，1）內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)，
則g（0）=0，g（1）=0，知函數(shù)g（x）在（0，x₀）和（x₀，1）上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減，
設(shè)h（x）=g′（x），
則h（x）在（0，x₀）和（x₀，1）上存在零點(diǎn)，
即h（x）在（0，1）上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，
g′（x）=e^x-4ax-b，h′（x）=e^x-4a，
當(dāng)a≤$\frac{1}{4}$時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上遞增，h（x）不可能有兩個(gè)及以上零點(diǎn)，
當(dāng)a≥$\frac{e}{4}$時(shí)，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上遞減，h（x）不可能有兩個(gè)及以上零點(diǎn)，
當(dāng)$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{e}{4}$時(shí)，令h′（x）=0，得x=ln（4a）∈（0，1），
則h（x）在（0，ln（4a））上遞減，在（ln（4a），1）上遞增，h（x）在（0，1）上存在最小值h（ln（4a））．
若h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則有h（ln（4a））＜0，h（0）＞0，h（1）＞0，
h（ln（4a））=4a-4aln（4a）-b=6a-4aln（4a）+1-e，$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{e}{4}$，
設(shè)φ（x）=$\frac{3}{2}$x-xlnx+1-e，（1＜x＜e），
則φ′（x）=$\frac{1}{2}$-lnx，
令φ′（x）=$\frac{1}{2}$-lnx=0，得x=$\sqrt{e}$，
當(dāng)1＜x＜$\sqrt{e}$時(shí)，φ′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)φ（x）遞增，
當(dāng)$\sqrt{e}$＜x＜e時(shí)，φ′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)φ（x）遞減，
則φ（x）_max=φ（$\sqrt{e}$）=$\sqrt{e}$+1-e＜0，
則h（ln（4a））＜0恒成立，
由h（0）=1-b=2a-e+2＞0，h（1）=e-4a-b＞0，
得$\frac{e-2}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$，
當(dāng)$\frac{e-2}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，設(shè)h（x）的兩個(gè)零點(diǎn)為x₁，x₂，則g（x）在（0，x₁）遞增，
在（x₁，x₂）上遞減，在（x₂，1）遞增，
則g（x₁）＞g（0）=0，
g（x₂）＜g（1）=0，
則g（x）在（x₁，x₂）內(nèi)有零點(diǎn)，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{e-2}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的求解和判斷，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．