Question

17．已知雙曲線Г：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左頂點為M，第二象限的點P，Q在雙曲線的漸近線y=-$\frac{a}$x上，且$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OQ}$，若△MPQ為等邊三角形，則雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$x．

Answer 1

分析 由雙曲線的一條漸近線方程為y=-$\frac{a}$x，P的坐標為（m，-$\frac{a}$m），由$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OQ}$，可得Q（3m，-$\frac{3bm}{a}$），運用中點坐標公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，運用等邊三角形的高為底邊的$\frac{\sqrt{3}}{2}$，化簡整理，可得a，b的關(guān)系式，即可得到所求雙曲線的漸近線的方程．

解答 解：由雙曲線的一條漸近線方程為y=-$\frac{a}$x，
P的坐標為（m，-$\frac{a}$m），由$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OQ}$，可得：
Q（3m，-$\frac{3bm}{a}$），
P，Q的中點為H（2m，-$\frac{2bm}{a}$），M（-a，0），
由MH⊥PQ，可得$\frac{-\frac{2bm}{a}}{2m+a}$=$\frac{a}$，
解得m=-$\frac{{a}^{3}}{2{c}^{2}}$，
可得|PQ|=$\sqrt{4{m}^{2}+\frac{4^{2}{m}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
由等邊三角形MPQ可得，
|MH|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|PQ|，
即有$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{{a}^{2}}{c}$，
即有b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
則雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
即為y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$x．
故答案為：y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$x．

點評 本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，考查向量共線的坐標表示，以及點到直線的距離公式和兩直線垂直的條件，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．