Question

設(shè)動點P在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的對角線BD₁上，記

D1P

D1B

=λ．當(dāng)∠APC為鈍角時，則λ的取值范圍是

（

1

3

，1）

．

Answer 1

分析：建立空間直角坐標(biāo)系，利用∠APC不是平角，可得∠APC為鈍角等價于cos∠APC＜0，即

PA

•

PC

＜0，從而可求λ的取值范圍．

解答：解：由題設(shè)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
則有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）
∴

D1B

=（1，1，-1），∴

D1P

=（λ，λ，-λ），
∴

PA

=

PD1

+

D1A

=（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1）

PC

=

PD1

+

D1C

=（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1）
顯然∠APC不是平角，所以∠APC為鈍角等價于cos∠APC＜0
∴

PA

•

PC

＜0
∴（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）²=（λ-1（3λ-1）＜0，得

1

3

＜λ＜1
因此，λ的取值范圍是（

1

3

，1）
故答案為：（

1

3

，1）

點評：本題考查了用空間向量求直線間的夾角，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．