Question

在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=

3

，在邊AB，AC上分別取D、E兩點，使沿線段DE折疊三角形時，頂點A正好落在邊BC上的點A′處，在這種情況下，則A′E最小值=

 

．

Answer 1

考點：解三角形的實際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：由題意，A，A′兩點關(guān)于折線DE對稱，連接DA′，可得AD=DA′，則有∠BAA′=∠AA′D，設(shè)∠EAA′=θ，∠CEA′=2θ，再設(shè)AE=A′E=x，則有CE=2-x，在△ECA′中，∠ACB=30°，∠EA′C=150°-2θ，由正弦定理知x=

2

1+2sin(150°-θ)

，由此可得結(jié)論．

解答： 解：由題意，A，A′兩點關(guān)于折線DE對稱，連接DA′，可得AD=DA′，則有∠BAA′=∠AA′D，
設(shè)∠EAA′=θ，∠CEA′=2θ，再設(shè)AE=A′E=x，則有CE=2-x．
在△ECA′中，∠ACB=30°，∠EA′C=150°-2θ，
∴由正弦定理知，

2-x

sin(150°-θ)

=

x

sin30°

，∴x=

2

1+2sin(150°-θ)

．
∵0°≤θ≤60°，∴30°≤150°-2θ≤150°，∴當(dāng)150°-2θ=90°，即θ=30°時，sin（150°-2θ）=1，
此時，A′E取得最小值為

2

3

．
故答案為：

2

3

．

點評：本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，正弦函數(shù)的定義域和值域，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．